Imagen astronómica del día

2 de octubre de 2008

La belleza en las matemáticas

La belleza es un concepto subjetivo. Es el conjunto de unas proporciones, colores, conductas, sonidos, ideas, entre otras muchas cosas, que nuestros sentidos perciben y nuestra mente interpreta como agradables, armónicas y hasta pueden producir placer intenso. Son sensaciones, algo que sentimos. Difícil de definir.

Cuando hablamos de belleza, nos vienen a la mente cosas como una obra de arte, un rostro, un poema, la música. Difícilmente pensaremos en una fórmula matemática, un teorema o una demostración científica.

Me centraré en la belleza de una fórmula matemática.

La belleza de una fórmula matemática reside en la interacción y síntesis de varios conceptos: la estética, la importancia de sus elementos, ensamblaje de los mismos de forma armoniosa y sobre todo la información que proporciona. Adobado de simplicidad y fácil comprensión. ¿Difícil verdad? Pues las fórmulas más transcendentales, las que más definen el mundo que nos rodea, son así.

Para mí, la más bella de las fórmulas es la identidad de Euler:



Es una relación entre los números más importantes de las matemáticas. Son números constantes en todo el universo y quedan relacionados con esta simplicidad.

Según Richard Feynman, la identidad de Euler ha sido considerada la fórmula más importante de las matemáticas.

Han sido muchas las revistas científicas de prestigio que han realizado encuestas sobre cuál es la fórmula matemática más bella. El resultado siempre ha sido el mismo: la identidad de Euler. La mayoría de matemáticos, físicos y científicos coinciden con esta opinión.

Para mí, le siguen en belleza y exquisitez las ecuaciones de Maxwell. Gran sencillez para explicar fenómenos tan complejos y transcendentales ya que representan todo un campo muy importante de la Física:

∇.D= ρ

∇.B=0

∇×E= - ∂B/∂t

∇×H=J+ ∂D/∂t


Como decía Bertrand Russell "las matemáticas correctamente vistas no sólo encarnan verdad, sino una suprema belleza".

A parte de las fórmulas antes mencionadas, para mi gusto le siguen:

Equivalencia masa-energía:
e = mc2

Ley de Planck:
e = hf

Segunda ley de Newton:
F = m . a

Teorema de Pitágoras:
a2 = b2 + c2

Ecuación de Boltzmann. Esta fórmula la vi grabada en su tumba:
S= k Ln (W)

Entropía en el universo:
∆Suniverso > 0

Ley de los gases ideales:
PV =nRT

Ecuación de Schrödinger:
HΨ = EΨ

Gravitación universal de Newton:
F = G (m2 m1)/R2

Ecuación de Bernoulli (sustentación aviones):
P + 1/2 ρ v2 = C

Ecuación de Dirac:
iy . ∂ Ψ=m Ψ

Ecuación de Campo de Einstein:
Gμv=8πGTμv

Longitud de la circunferencia:
C=2 π r

Producto de Euler:
ζ(s)=∏[ps/(ps-1)]

Potencia radiante neta de un cuerpo:
Pneta = e s A (T4 - To4)

Dualidad onda-partícula de De Broglie:
λ= h / p = h / (m v)

Principio de incertidumbre de Heisenberg:
∆E . ∆t ≤ h/4π

Oscilador armónico:
En = (n + 1/2)hv

1er principio de la termodinámica y principio de la
conservación de la energía:
d U = dQ + dW

Potencial o entalpía libre de Gibbs:
G = U - T S + p V

Cálculo de un engranaje:
M = (Diam ext.)/(N+2)

La mayoría de estas fórmulas constan en los resultados de la encuesta que realizó la revista Physics World cuando propuso la recurrente pregunta de cuál es la fórmula más distinguida del Parnaso científico-matemático.

Parece fácil para un entendido apreciar la belleza en fórmulas y enunciados matemáticos de la Física, porque detrás de ello subyace un significado. Pero Roger Penrose nos comenta que incluso en campos en que las matemáticas tienen una relativa o poca influencia en la Física, también se puede hallar belleza, y pone como ejemplo la teoría de Cantor del infinito, y la define como “la contribución más profundamente bella en el conjunto de la historia de las matemáticas”.

Sin duda, las matemáticas son una herramienta mediante la cual el hombre interpreta, representa y transforma la realidad.

57 comentarios:

Blanca dijo...

Josep: Muchas gracias por relacionar el arte con las matemáticas, desde la ciencia.
Desde las humanidades, hay una relación entre los músicos y los números que me llama mucho la atención:
Mendelssohn compuso su obertura “Sueño de una noche de verano” con 17 años.
Mozart escribió la mitad de sus piezas antes de cumplir los 21 y, a pesar de vivir solo 35 años, llegó a escribir 600 obras.
Meyerbeer era considerado un virtuoso del piano a los 9 y a esta misma edad dio su primer concierto Franz Liszt.
Beethoven fue director de orquesta con 18 y antes de esa edad, Shubert ya había escrito 146 canciones, 3 óperas y 2 sinfonías, además de mucha música de cámara.
Entre los 10 y los 13 años Haendel compuso más de 100 obras religiosas.
El padre de Isaac Albéniz preparó el primer concierto público de su hijo cuando éste tenía sólo 4 años.
Chopin escribió su primera obra con 7 años, dio su primer concierto privado con 8 y a los 19 ya era considerado un virtuoso del piano.
Weber escribió su primera ópera a los 13 años, y a los 18 era director de la Opera de Breslau.
Un saludo.

Josep Ros dijo...

Hola Blanca,

Como sabes, han existido las ideas innatistas y evolucionistas(sobre el aprendizaje).

Por mucha capacidad de aprendizaje que tenga el cerebro, y mucho ambiente favorable en el entorno, a esas edades no ha dado tiempo de aprender.

Tiene que haber algo innato que haga que esas personas con una muy pequeña y segada estimulación puedan ser capaces de desencadenar cualidades que para otras requieren mucho tiempo de aprendizaje.

En la Revista National Geographic de este mes viene un DVD que comenta tres casos de superdotados. Se comenta que cualquier persona con la debida estimulación y ambiente favorable puede ser superdotado. Creo que tiene que haber algo más. A Chopin con 7 años le fue imposible poder desarrollar y aprender. Creo que no tuvo tiempo.

Gracias por tu comentario.

Un abrazo.

Blanca dijo...

Josep: Menos todavía tuvo Amadeus Mozart que a los 4 años componía obras musicales, tocaba el clavicordio y a los 6 ya leía música de corrido.
Estoy de acuerdo contigo, creo que influye lo genético o heredado además de lo ambiental y que éste último factor por si sólo no es causa de la capacidad intelectual superior.
Por supuesto la edad intelectual no coincide con la cronológica en estos niños pero hay que diferenciar la precocidad, el talento, la superdotación, la creatividad como factores diferenciados y a veces se meten todos en el mismo saco.
Este artículo sobre la psicología del superdotado está bastante bien:
http://html.rincondelvago.com/psicologia-del-superdotado.html
Un abrazo.

Anónimo dijo...

La identidad de Euler. Es bellísima, pero no. ¿Sería de utilidad una ecuación de la mente?

J
osé
M
anuel

Josep Ros dijo...

Blanca, Gracias por ponerme el enlace. Es interesante.

Conocí a un superdotado hace tres años. Tenía seis carretas. Vive o vivía en Girona. Se llama Montilla y dijo que era primo segundo del presidente de la Generalitat. Presice la fundación de superdotados en Girona.Charlé mucho con él. La vida de los superdotados no es nada fácil y tienen mucho fracaso. A veces escolar, pero mucho en la vida.

Hay propiedades mentales, como el habla, que muy pocos estímulos los nilos aprenden a hablar, quizá la música sea algo también que en la mente haya cierta predisposción innata en ciertas personas, porque a Mozart con cuatro años no tuvo tiempo de aprender ni comprender si es que le enseñaron.

Sabers que la música es matemática pura.
Un abrazo

Josep Ros dijo...

Anónimo,

Supongo sabrás que más de uno en la historia de la psicología y la física incluso, ya ha intentado encontrar la fórmula de la mente. Hubo muchas investigaciones en psicofísica que iban por ese camino.

Si tienes una propuesta estaría interesado y agradecido en que me la pasases.

Saludos.

Anónimo dijo...

Ni de lejos se me ocuurre, Josep. A pesar de que Roger Penrose dice que hay algo no computable en la mente, creo que algún día alguien dará con una ecuación aproximada. Aproximada porque las matemáticas nos dan un resultado cercano a la realidad.

J
osé
M
anuel

Josep Ros dijo...

José Manuel,

Estoy de acuerdo contigo. Me gusta Roger Penrose como matemático, físico y filósofo. Tengo su libro "El camino de la realidad" un poco atravesado. Cuesta avanzar.

1500 págicnas de fíca pura con filosofía al final son muchas páginas.

Estoy convencido que se dará con una aproximación matemática(aunque no sea con las actuales matemáticas ni con la Física actual) de la mente. Total (y nada menos) es un kilo y poco de material tangible, de células, neuronas, redes, neurotransmisores, hormonas, etc. Esto tiene que tener un patrón que las matemáticas y la física tiene que llegar a averiguar.

Un saludos.

Anónimo dijo...

A mí las matemáticas siempre se me han atragantado. No puedo apreciar belleza.

La auténtica belleza está en el amor, sin necesidad de ser recompensado.

Anabel.

Blanca dijo...

José Manuel: Si se consigue la ecuación ¿Para qué la utilizarías tú?

Anabel: Estoy de acuerdo contigo en que el amor, aún cuando no es correspondido, conlleva belleza; pero no lo estoy en la limitación de ésta a ese único sentimiento.
Por ejemplo, ¿No hay belleza para ti en la música?

Josep: Esa frase “ la música es pura matemática” la he oído muchas veces pero no la entiendo. Tal vez si dedicas una columna a su comprensión, nos harías un favor a Anabel, a mi y a otros.
Un abrazo.

Anónimo dijo...

Blanca, utilizaría la ecuación de la mente, sin sombra de duda, para engrandecer el conocimiento humano y ayudar, cómo no, a los más desfavorecidos. Nos igualaría por doquier la razón natural de una esencia misma, y no habría lugar a la disimilitud entre unos y otros: ricos y pobres, hutus y tutsis, inteligentes y menos inteligentes. Las diferencias son mínimas ex aequo, en igualdad de condiciones. Sólo nos separa el contexto y el azar; si has nacido en un entorno amable o no. Pura utopía, ya sé. No obstante, la sabiduría nos hace más libres e igualitarios. Probablemente siempre habrá alguien dispuesto a utilizar la información para manipular a los otros, pero si se difunde ésta urbi et orbi le será más complicado sus cometidos.

Saludos.

J
osé
M
anuel

Blanca dijo...

José Manuel: Así que convertirías a la tierra en una especie de cielo lleno de ángeles simétricos… Produciéndonos una gran frustración a las personas que disfrutamos de las diferencias.
Creo que una clave fundamental en las relaciones es la buena complementación, difícil si somos idénticos… ¡Es broma! (en parte).
Muchas gracias por contestarme.
¡Hasta pronto!

Josep: Espero estés bien. Un abrazo.

Josep Ros dijo...

He regresaso después de muchos días de viaje. He estado varios días en Madrid, He tenido que ir a Lisbora. Llegué a Barcelona y al día siguiente marché a Milám y desde allí me fue dos días a Brno.

Acabo de regresar realmente agotado. He pedido dos días de fiesta en el trabajo para descansar.

Anabel: El amor dudo que sea bello, en un sentimiento que puede llegar a ser muy amargo y triste y cuando se siente son pequeños instantes pasajeros. La ecuación del amor es 1+1=3 (exepto en los amores platónicos).

Hola Blanca,
Yo no entiendo de música. Pero en Física (en mecánica) suele estudiarse algo de música en el concepto de notas, vibraciones, armonías, etc. Todas estos conceptos son físicos y matemáticos (las ecuaciones de la vibraciones, longitudes de onda y transmisión en el medio como el aire es pura física y matemática). Lo que ocurre es que nuestro sentido del oido lo lleva al cerebro y allí (por circunstancias desconocida)algunas vibraciones nos pareces bellas, incluso a los bebés recién nacidos, e incluso en estado intrauterino.
Un abrazo Blanca.

Josep Ros dijo...

José Manuel,
Estoy de acuerdo contigo. La ecuación de la mente, al igual que las ecuaciones de todo se hallarán, quizás no con las matemáticas ni la Física actuales, pero se hallarán. Salvando las distancias, hemos hallado la ecuación y descubierto la ecuación y comportamiento de un relámpago, que para las culturas prehistóricas eran manifestaciones de dioses o incluso los mismos dioses.

La mente de decubrirá su comportamiento. Blanca soy muy biologista en estos temas, y la biología es física y la física matemáticas.

Lo que me ocurre es que por muy convendido que esté de una cosa cuando leo a Blanca me acaba convenciendo de lo que dice. No que no tenga personalidad y me crea lo primero que me dicen, es que lo argumenta tan bien que hace pensar.

Las consecuencias de descubrir el funcionamiento intrínseco del cerebro/mente (su ecuación, hará que seamos más felices y mejores y se conservarán las diferencias. Una cosa es conocer el funcionamiento (su ecuación) y otra manipularlo, que espero que la ética humana solamente lo permita en caso de enfermedades.

Un abrazo a todos.

Blanca dijo...

Josep: Siento tu cansancio, pero me alegro mucho de que estés “aquí”.
También “allí” te hemos echado en falta.
Comentaría sobre todo lo que dices, pero prefiero esperar la opinión de Anabel, sobre el amor, y la de José Manuel.
En cuanto a la ética, siento recordarte que se deshumanizó a raíz de Auschwitz-Birkenau, cuando la Historia cambio su linealidad.
Aún así, ojala lleves razón. Me encanta tu optimismo.
¡Hasta luego!

Josep Ros dijo...

Blanca,
Ha habido muchos momentos en la historia de la humanidad en que la moral, la ética y la conciencia humanas no han estado muy parejas con el comportamiento de los hombres. De lo que estoy convencido es que las ciencias, junto con el proceso imparable de culturización harán que éste sea un mundo feliz (seguro será a largo plazo, pero llegará). Para ello deberíamos ser muchos menos seres en la Tierra y poder repartir más equitativamente los bienes y la energía que no la Tierra nos proporciona.

Un aabrazo.

PD/ No conozco a Anabel. He visto que me ha dejado algún comentario.

Anónimo dijo...

No sabía que las fórmulas tuvieran belleza, pero después de las explicaciones que se exponen puedo llegar a concebir que haya personas que encuentren belleza en este asunto.

Una fórmula bella y más simple, pero que implica comprensión simbólica y conceptual es: 1+0=1.

Salut
Joan

Anónimo dijo...
Este comentario ha sido eliminado por un administrador del blog.
Anónimo dijo...
Este comentario ha sido eliminado por un administrador del blog.
Anónimo dijo...
Este comentario ha sido eliminado por un administrador del blog.
Anónimo dijo...
Este comentario ha sido eliminado por un administrador del blog.
Anónimo dijo...
Este comentario ha sido eliminado por un administrador del blog.
Anónimo dijo...
Este comentario ha sido eliminado por un administrador del blog.
Anónimo dijo...
Este comentario ha sido eliminado por un administrador del blog.
Anónimo dijo...
Este comentario ha sido eliminado por un administrador del blog.
Anónimo dijo...
Este comentario ha sido eliminado por un administrador del blog.
Anónimo dijo...
Este comentario ha sido eliminado por un administrador del blog.
Anónimo dijo...

[url=http://en.wikipedia.org/]wikipedia[/url]
[url=http://www.cyclothymiasymptoms.com/]cyclothymia[/url]

Anónimo dijo...

So I took the plunge -- bought myself a [url=http://www.ordio.com.au/products/Fatman-iTube-452-with-ValveDock.html]Fatman iTube Dock[/url] and I am very glad to report that I am an extremely happy customer. I actually listened to one at a friend's house several months ago and just couldn't get that quality out of my head because it really truly surprised me. I searched everywhere for a great deal and finally found it at [url=http://www.ordio.com.au]Ordio[/url] in Westfield Bondi Junction. I telephoned them first and asked every question I could think of and everything was answered to my satisfaction so I went ahead and made the purchase. Shipping was surprisingly fast. Everything was perfect. I'm pretty darn happy and I'm playing it right now. Not sure if they ship outside of Oz but you won't be sorry if they do.

Really happy...

Derek

Anónimo dijo...

lost your money at the [url=http://www.realcazinoz.com]casino[/url] ?over 21 and looking where to [url=http://www.generic4you.com]buy viagra online[/url]? or even how to buy [url=http://www.avi.vg]adult toys[/url]? well you can try this websites and [url=http://www.medical-250.biz]buy viagra[/url]. [url=http://www.generic4you.com]sildenafil[/url] and [url=http://www.generic4you.com]generic viagra[/url] online. you can also buy [url=http://www.generik4u.com]viagra[/url] online.
so for [url=http://www.avi.vg]sex toys[/url] and [url=http://www.ewgpresents.com]viagra online[/url] check us ! for great [url=http://www.cahv.org]viagra[/url] deals check us now!

Anónimo dijo...

Playing bingo needs more than luck or skills and techniques, contrary to what most believe. Bingo, just like any game of chance, comes with rules and regulations that players should observe. Being a player comes with responsibilities and etiquette.

Winning the Game

The moment you figured out you won, you must immediately yell BINGO, and it should be loud enough for the floor walker to hear. The pot money shall be given to the winner once their winning card is confirmed. Well, in winning or once you know you just won, the most important thing is that you shout the winning word BEFORE the time elapses. If the game proceeds and the next number is mentioned and you failed to shout "Bingo", your winning card is disqualified. Therefore, this is the rule you must know.

There may be cases when there are two winners, and in this case the pot money shall be divided equally among the winners. Supposing there are two winning cards, the two winners will share half the prize money.

Bingo Game Rules

Bingo rules are basically the same no matter in which Online Bingo hall you play. But still it's good if you know these rules by heart. If it is your first try, then ask for handouts and inquire from pros regarding the game rules. Nonetheless, the ideal thing to do if you have questions is to ask the floor walker and not the person seated beside you. You should clarify things and doubts before the game starts because asking too many questions as the game proceeds could well distract you. This guideline also applies to those who are newcomers at casinos, those who play roulette for the first time.

Bingo halls demand an age limit of 18 years old. If you are below this age, you are prohibited to play. Some bingo houses ban alcohol inside, so players aren't supposed to take liquor nor drink it inside the venue. Smoking may also be restricted inside the venue, as there are designated smoking sections.

Take note that some Bingo houses don't allow food but some do, so it basically depends on the venue. Policies vary among different venues. For instance, some bingo halls allow reservation of cards, while others don't allow it. Some allow people to leave the venue in the middle of the game, others forbid it. But there are general policies observed in all bingo houses, such as disqualification of tampered bingo cards. There is no way you can get away with a tampered card because the walkers are adept at identifying authentic cards from tampered ones. You could be banned from a bingo establishment if proven liable of tampering a card. Hence, you should play honestly.

Interestingly, some venues offer special bingo games for kids although some halls don't allow players to have companions while playing. Suppose you bring kids with you, don't let them run around the venue and bother other gamers. They should behave well whilst you play and the game proceeds. Play quietly and don't recite the numbers you desperately want to come off because you'll be much of a disturbance if you do. Decorous playing is expectant of all players, even those who play roulette at casinos. Also, having a valid identification is important because you don't know you might win and need to present credentials.

More Online Bingo Info at Bingo Snooper Visit Now http://www.bingosnooper.com

Anónimo dijo...

I would like to thank You for being the member of this website. Please allow me to have the chance to express my satisfaction with HostGator web hosting. They have professional and express support and they also offer numerous [url=http://tinyurl.com/gatorcoupon ]Host gator coupons[/url].

I love Hostgator hosting, You will too.

http://www.droiddog.com/forums/member.php?u=244437

Anónimo dijo...

order xanax buy xanax legally - xanax side effects body

Anónimo dijo...

We arrange up with provision all kinds of disgusting significance s that unintentional in a imparity of styles, colors and sizes at wholesale price.All [url=http://www.oyeahbridal.com/cheap-plus-size-wedding-dresses.html]plus size wedding dresses[/url]
[url=http://www.oyeahbridal.com/cheap-plus-size-wedding-dresses.html]plus size wedding dresses[/url]
[url=http://www.oyeahbridal.com]cheap wedding dresses[/url]
are cheaply with up to date styles allying apparels including deviser coalescence run someone dotty a ribbon, strand relationship dresses, affiliation gowns, bridesmaids dresses, prom outfits, bourgeon gal dresses & screen dresses.Even we can put in order the services of otiose vastness customization and manumitted coupled with stratum Snitch on affordable astounding mixture dresses in the present impression!reassurance avid shopping, dress to the epistle inevitable on the side of the whacking distinguished blending with the help of Oyeahbridal.


http://www.oyeahbridal.com/cheap-prom-dresses-2013.html

Anónimo dijo...

[url=http://monclerjassenjas.org][img]http://monclerjassenjas.org/bmz_cache/a/a329c9e38e2175f873363788544a9c4e.image.232x310.jpg[/img][/url] [url=http://moncler-jackor.org]Moncler[/url] YmsTvq ZblYkq [url=http://christianlouboutinpascheronline.net]Christian Louboutin[/url] JgcEzr [url=http://www.canadagoosetilbudnorge.com/canada-goose-montebello-parka-red-billig-canada-goose-oslo-pi-81/][img]http://www.canadagoosetilbudnorge.com/bmz_cache/3/3210f63d2898d3ead7b7fed69a1bf46e.image.232x350.jpg[/img][/url] NwpBbk [url=http://www.true-religionbrandjeans.com]True Religion Jeans[/url] TlcVau [url=http://www.handtascheonline.com]MIU MIU[/url]
JmiBrz [url=http://www.hogan-schuhe.net]hogan schuhe[/url] [url=http://www.handtascheonline.com/burberry-handtaschen-1.html]Burberry handtaschen[/url]
DswRsy [url=http://www.handtascheonline.com]Mulberry[/url]
[url=http://www.monclerjakkevinter.com]moncler[/url] DowObr [url=http://moncler-jackor.org/moncler-boots-billig-9.html]Moncler Boots[/url]
[url=http://www.mbtdk.dk]mbt[/url] YttJou [url=http://www.canadagoosetilbudnorge.com/canada-goose-parka-dame-c-7/]Canada Goose Dame[/url]
[url=http://www.mbtdk.dk]mbt sko[/url] MptArr [url=http://www.handtascheonline.com]Marc Jacobs[/url]
[url=http://www.hogan-schuhe.net]Hogan Schuhe[/url] QtvRoe [url=http://www.handtascheonline.com]Prada[/url]
[url=http://www.hogan-schuhe.net]Hogan[/url] LamFtf [url=http://www.canadagoosetilbudnorge.com]Canada Goose[/url] StyRxm

Anónimo dijo...

Shopping [url=http://www.thomassabosaleukshop.co.uk]thomas sabo[/url] on the internet can save you from the hassle of leaving your property to get a traditional shopping spree. There are actually two ways to shop online: through a store's official [url=http://www.monclersale4uk.com]moncler jackets uk[/url] or by way of a web based auction web-site. Shopping at a website gives you a larger selection of styles and sizes than the shop. For instance, the turtleneck that you have to have within a size 5 is much more likely to become in stock at the on the web store than at a standard boutique retailer. You can shop anytime which makes it advantageous for those that have a busy schedule. You also save up on fuel and income, considering that you usually do not need to devote income on gas or fare.

The mark-up on diamonds is to be expected after you look at the reality that dealers have to cover their personal costs although also generating a profit. They've to deal with several distinctive expenses and these end up coming out of your pocket at the end of the day. For this reason alone [url=http://www.thomasfashionshop.com]thomas sabo sale[/url] makes sense to perform your buying on the web if you are seeking for very good high quality engagement rings at a fantastic price.

On the internet [url=http://www.topclarisonicmiasale.com]clarisonic mia[/url] do not have those expenses to consider about. The savings they take pleasure in can then be passed on to their customers. If you obtain your diamond rings on the web, you may expect to delight in savings of up to 20%, which is considerable.

[url=http://www.uggbootssaleonlineshop.com]ugg uk[/url] Assuming you might have decided to get a ring, your next step is to decide how considerably you might be prepared to commit. It's always an excellent idea to go to some local outlets to view how significantly they charge for the type of ring you want to buy. This may permit you to make comparisons any time you turn your attention to on the web retailers.

Anónimo dijo...

http://13dfgsdfg57.com/

Anónimo dijo...

When we finally go through the concept of the phrase adore, not just in regards to an intimate romance by using yet another, nevertheless as a experience that is definitely engendered once you have miltchmonkey a greater partnership on your own far too -- or even as a sense of greater unity household or maybe man : it gets to be even more magnificent that someone needs to have will be like.

Anónimo dijo...

Hi, guantanamera121212

Anónimo dijo...

in turn michael kors sale.
and a man in a white lab coat ghd lisseur.
and slowly walked in the coming and going on the road since those neon flashing seven color ugg boots uk.
while side head slightly hard to take a look at the Michael Kors one Mu total forget it michael kors purses.

Anónimo dijo...


[url=http://www.pakcerscheapjersey.com/packers-by-player-aj-hawk-jersey-c-1_4.html][b]A.J. Hawk Jersey[/b][/url]
[url=http://www.pakcerscheapjersey.com/packers-by-player-brandon-saine-jersey-c-1_37.html][b]Brandon Saine Jersey[/b][/url]
[url=http://www.pakcerscheapjersey.com/hat-c-86.html][b]Hat[/b][/url]

Anónimo dijo...

2tIzt cheap ghd
mVwk ugg boots on sale
jMek michael kors outlet
5oWln GHD Hair Straightener
4eRmy burberry outlet online
7yGnk ugg australia
8fVdg ghd nz sale
9rJlu discount louis vuitton
1oRzy michael kors purses
4dFnh best hair straighteners
9sUne cheap uggs
8eTax nfl football jerseys
6fBxm michael kors handbags
9bUox GHD Pas Cher
5oFfm ugg boots

Anónimo dijo...

jYpg ghd hair straighteners
zCel cheap ugg boots uk
hGtu michael kors sale
6fMal GHD Australia
4sSzh burberry purses
5oLop bottes ugg pas cher
2bFas ghd hair straighteners
5sRzn cheap louis vuitton
0cVmp Michael Kors
1vBkh ghd straightners
8nEyi ugg boots
8uCoa nike nfl jerseys
8cAkw michael kors handbags
7wEyp GHD Pas Cher
6zHsp ugg boots

Anónimo dijo...

zQuk coach outlet
yKwz cheap ugg boots
kQzv michael kors sale
3jDef ugg sale
1oRze chi straightener
8zGzy michael kors handbags
7oNmj wholesale nfl jerseys
6wCzv coach outlet
7wXtf cheap north face
2fLmq ugg online
0rApa ghd straighteners sale
0dXlk michael kors wallet
6lGsy nfl shop
4fDwo planchas ghd baratas
6dDpe cheap ugg boots

Anónimo dijo...

fFtw coach outlet
zKil lIhm michael kors bags
8nRfn ugg boots sale
2aXcy chi straightener
3uWwp michael kors purses
9wQoe cheap nfl jerseys
9dNih coach outlet
8mYnk 0qTub ugg online
1kFmk 6eCue michael kors purses
6oHak nike nfl jerseys
5vRdg ghd
0tEur ugg boots sale

Anónimo dijo...


[url=http://member.marketingbodz.com/blogs/entry/Grab-This-Cover-Pretty-Much-Everything-Concerning-Cheap-NHL-Jerseys][b]Cheap NHL Jerseys[/b][/url]
[url=http://wiki.moippo.mk.ua/index.php/index.php?title=6-Techniques-For-Jerseys-Your-Able-To-Use-Soon][b]Cheap NHL Jerseys[/b][/url]
[url=http://wiki.thewaytoactuality.com/index.php/index.php?title=Few-Guidelines-To-Make-Ease-Of-michael-kors-outlet][b]michael kors outlet[/b][/url]
[url=http://fffff.at/wiki/index.php/index.php?title=Funny-Yet-Still-Inspirational-Sayings-Regarding-Cheap-NHL-Jerseys][b]Cheap NHL Jerseys[/b][/url]
[url=http://larrywiki.com/LarryWiki/index.php?title=Sac-longchamp-Manufacturers-Join-Forces][b]sac longchamp pas cher[/b][/url]

Anónimo dijo...

dating site for married women http://loveepicentre.com/ who is brenda song currently dating

Anónimo dijo...

free ebook probability random http://audiobookscollection.co.uk/Stephen-Hill/m119302/ storm front jim butcher ebook free [url=http://audiobookscollection.co.uk/Website-Architecture-and-Usability/c2539/?page=27]ebook book[/url] ebook international trade

Anónimo dijo...

ebook illegally thin http://audiobooksworld.co.uk/de/authors/?letter=P&page=3 hill peterson digital system ebook [url=http://audiobooksworld.co.uk/Peter-Zadrozny/m100491/]sidekick tmobile ebook[/url] fast weight loss diets ebook

Anónimo dijo...

ebook buyer attitude http://audiobooksworld.co.uk/Roberta-Sterman-Sabbath/m109854/ best drm ebook removal software reviews [url=http://audiobooksworld.co.uk/All-U-Can-Eat/p159905/]auto directory clickbank ebook[/url] ebook of mechanical free
[url=http://audiobooksworld.co.uk/de/Wake-Up-A-Life-of-the-Buddha/p27491/][img]http://audiobooksworld.co.uk/image/5.gif[/img][/url]

Anónimo dijo...

[url=http://redbrickstore.co.uk/products/symmetrel.htm][img]http://onlinemedistore.com/12.jpg[/img][/url]
metcalf pharmacy http://redbrickstore.co.uk/products/tricor.htm rosemont pharmacy rosemont pa [url=http://redbrickstore.co.uk/products/aleve.htm]pharmacy wharehouse[/url]
fda guide lines pharmacy http://redbrickstore.co.uk/categories/erection-packs.htm purchase norvasc pharmacy online [url=http://redbrickstore.co.uk/products/vantin.htm]vantin[/url]
online pharmacy list http://redbrickstore.co.uk/products/retin-a-0-05-.htm clinical pharmacy specialist salaries [url=http://redbrickstore.co.uk/products/viagra.htm]pharmacy jobs kansas city[/url]
sundance pharmacy http://redbrickstore.co.uk/products/luvox.htm online pharmacy com [url=http://redbrickstore.co.uk/products/dipyridamole.htm]dipyridamole[/url]

Anónimo dijo...


jifg [url=http://windows8online.webs.com/]buy windows 8[/url] bqeh
[url=http://windows8online.webs.com/]windows 8 product key[/url] twxf
[url=http://windows8online.webs.com/]windows 8 key[/url] cxiv
[url=http://windows8online.webs.com/]http://windows8online.webs.com/[/url] olay

zowp
lgzj
tnkc [url=http://windows8online.webs.com/][/url]

Anónimo dijo...

[url=http://englandpharmacy.co.uk/categories/hypnotherapy.htm][img]http://onlinemedistore.com/10.jpg[/img][/url]
angela brooks pharmacy http://englandpharmacy.co.uk/categories/anti-fungus.htm cvs pharmacy locater [url=http://englandpharmacy.co.uk/products/chloroquine.htm]new world pharmacy south africa[/url]
post days showed crdrx consult package pharmacy subject http://englandpharmacy.co.uk/products/innopran-xl.htm pearson pharmacy barbados [url=http://englandpharmacy.co.uk/categories/erection-packs.htm]erection packs[/url]
pets pharmacy in houston http://englandpharmacy.co.uk/products/casodex.htm on the job training in washington for pharmacy technicians [url=http://englandpharmacy.co.uk/catalogue/b.htm]history of pharmacy and medicine[/url]
start up pharmacy business plan http://englandpharmacy.co.uk/products/yasmin.htm pharmacy no perscription [url=http://englandpharmacy.co.uk/products/accupril.htm]accupril[/url]

Anónimo dijo...

comment 3, [url=http://buyoxybutynin.tumblr.com]buy oxybutynin[/url]. comment 3, cheap oxybutynin http://buyoxybutynin.tumblr.com order oxybutynin online
comment 3, [url=http://buyneoralonline.tumblr.com]neoral order[/url]. comment 2, cheap neoral http://buyneoralonline.tumblr.com buy neoral
comment 1, [url=http://buyaltace.tumblr.com]order altace[/url]. comment 1, online altace http://buyaltace.tumblr.com buy altace online

Anónimo dijo...

comment 7, [url=http://bleacherreport.com/users/2292573-buy-dilantin-purchase-dilantin-cheap-dilantin]mail order dilantin[/url]. comment 7, mail order dilantin http://bleacherreport.com/users/2292573-buy-dilantin-purchase-dilantin-cheap-dilantin order dilaudid online no prescription
comment 6, [url=http://bleacherreport.com/users/2292651-buy-brafix-purchase-brafix-cheap-brafix]buy brafix online[/url]. comment 3, brafix online http://bleacherreport.com/users/2292651-buy-brafix-purchase-brafix-cheap-brafix cheap brafix
comment 1, [url=http://bleacherreport.com/users/2292768-buy-rulide-purchase-rulide-cheap-rulide]purchase rulide[/url]. comment 7, rulide purchase http://bleacherreport.com/users/2292768-buy-rulide-purchase-rulide-cheap-rulide rulide buy

Anónimo dijo...

Hello. And Bye.

Anónimo dijo...

dating men cigars [url=http://freeinternetdating.info/brides/raunchy-brides]raunchy brides[/url] online dating connection for newyorkers
dating a marshall amp http://freeinternetdating.info emerald dating
speed dating in wisconsin [url=http://freeinternetdating.info/seeking/craigslist-woman-seeking-man-escondido]gay dating sites free[/url] man dating in slovakia